CHI SQUARE

Menurut Walpole (1995), uji kebaikan suai diantara frekuensi yang teramati dengn frekuensi harapan yang didasarkan pada besaran sebagai berikut:

Sedangkan χ² merupakan suatu nilai untuk peubah acak χ² yang merupakan sebaran penarikan contohnya sangat menghampiri sebaran chi square. Lambang o_i dan e_i masing-masing dapat menyatakan frekuensi teramati dan frekuensi harapan bagi sel ke-i. Apabila frekuensi yang teramati sangat dekat dengan frekuensi harapannya maka nilai χ² bernilai kecil dan menujukkan adanya kesuaian yang baik. Sedangkan jika frekuensi yang teramati berbeda cukup besar dari frekuensi harapannya maka nilai χ² akan bernilai besar sehingga kesesuaiannya buruk. Kesuai yang baik akan menciptakan suatu penerimaan H₀, sedangkan suatu kesuaian yang buruk akan menciptakan suatu penolakan terhadap H₀. Derajat kebebasan merupakan banyaknya derajat bebas yang terdapat dalam uji kebaikan suai yang didasarkan pada sebaran chi square, sama dengan banyaknya sel yang telah dikurangi dengan banyaknya besaran yang telah diperoleh dari data pengamatan yang digunakan pada perhitungan frekuensi harapannya.

Menurut Hasan (2003), distribusi χ² dalam pengujian hipotesisnya biasanya digunakan untuk mengetahui perbedaan antara frekuensi pengamatan dengan frekuensi yang diharapkan (frekuensi teoritis). Pemakaiannya dapat dilihat antara lain sebagai berikut:

1. Pengujian Hipotesis Independensi (Test of Independency)
   

Pengujian hipotesis independensi merupakan suatu pengujian hipotesis ketidakbergantungan (kebebasan) suatu pengelompokkan dari hasil penelitian (sampel) dari populasi terhadap kategori populasi yang lainnya. Dalam pengujian ini dapat menggunakan tabel kontingensi b x k, b merupakan baris dan k merupakan kolom, dengan b ≥ 2 dan k ≥ 2. Langkah-langkah pengujiannya adalah sebagai berikut:

• Menentukan Formulasi Hipotesis
  

  H₀ : merupakan kategori yang satu bebas dari kategori yang lainnya.
  

  H₁ : merupakan kategori yang satu tidak bebas dari kategori yang lainnya.
  

• Menentukan Taraf Nyata (α) dan Nilai χ² Tabel
  

  Taraf nyata (α) dan nilai χ² tabel ditentukan dengan db = (b - 1) (k - 1), dapat ditulis sebagai berikut:
  

• Menentukan Kriteria Pengujian
  

  H₀ diterima jika X²_hitung ≤ X²
  _{α (b - 1) (k - 1).}
  

  H₀ ditolak jika X²_hitung > X²
  _{α (b - 1) (k - 1).}
  

• Menentukan Nilai Uji Statistik
  

  

• Membuat Kesimpulan
  

  Dalam membuat kesimpulan kita akan menentukan apakah H₀ akan diterima atau ditolak.
  

1. Pengujian Hipotesis Kompatibilitas (Test of Goodnes of Fit)
   

Pengujian hipotesis kompatibilitas merupakan suatu pengujian hipotesis untuk menentukan apakah suatu himpunan frekuensi yang diharapkan (frekuensi teoritis) sama dengan frekuensi yang telah diperoleh (frekuensi pengamatan) dari suatu distribusi. Jadi, dalam pengujian hipotesis kompatibilitas merupakan pengujian kecocokan antara hasil pengamatan (frekuensi pengamatan) tertentu dengan frekuensi yang telah diperoleh berdasarkan nilai harapannya (frekuensi teoritis). Langkah-langkah pengujian hipotesis kompatibilitas adalah sebagai berikut:

• Menentukan Formulasi Hipotesis
  

  H₀ : frekuensi pengamatan sesuai dengan frekuensi yang diharapkan.
  

  H₁ : frekuensi pengamatan tidak sesuai dengan frekuensi yang diharapkan.
  

• Menentukan Taraf Nyata (α) dan tabel χ²
  

  Taraf nyata (α) dan χ² tabel dapat ditentukan dengan derajat kebebasan (db)= k-N.
  

  

keterangan:

k : merupakan banyaknya kejadian atau kelas,

N : merupakan banyaknya kuantitas dari hasil pengamatan yang digunakan untuk menghitung frekuensi harapan.

• Menentukan Kriteria Pengujian
  

  H₀ diterima jika X²_hitung ≤ X²_{α(k - N).}
  

  H₁ ditolak jika X²_hitung > X²_{α (k - N).}
  

• Menentukan Nilai Uji Statistik
  

Keterangan:

f₀ : merupakan frekuensi pengamatan,

f_e : merupakan frekuensi harapan.

• Membuat Kesimpulan
  

  Dalam membuat kesimpulan kita akan menentukan apakah H₀ dapat diterima atau ditolak.
  

1. Pengujian Hipotesis Beda Tiga Proporsi atau Lebih
   

Pengujian hipotesis beda tiga proporsi atau lebih dapat dibedakan menjadi dua jenis, yaitu pengujian hipotesis dengan dua kategori dan pengujian hipotesis lebih dari dua kategori. Pengujian ini dijelaskan lebih terperinci dalam uraian sebagai berikut:

1. Pengujian Hipotesis dengan Dua Kategori (Ukuran)
   

Dalam pengujian hipotesis dengan dua kategori, peristiwa yang terlihat disini hanya terdiri atas dua kategori yaitu sukses dan gagal, baik dan buruk, kepala dan ekor. Langkah-langkah pada pengujian hipotesis dengan dua kategori dapat kita lihat sebagai berikut:

• Menentukan Formulasi Hipotesis
  

  H₀ : P₁ = P₂ = P₃ = . . . (= P),
  

  H₁ : P₁ ≠ P₂ ≠ P₃ ≠ . . . (≠ P).
  

• Menentukan Taraf Nyata (α) dan χ² Tabel
  

  Taraf nyata (α) dan X² tabel dapat ditentukan dengan derajat kebebasan (db) = k–1.
  

  

• Menentukan Kriteria Pengujian
  

  H₀ diterima jika X²_hitung ≤ X²_{α (k – 1),}
  

  H₀ ditolak jika X²_hitung > X²_{α(k - 1).}
  

• Menentukan Nilai Uji Statistik
  

  

Keterangan:

n_ij : merupakan frekuensi pengamatan (observasi),

e_ij : merupakan frekuensi harapan (teoritis),

e_ij :

i : 1, 2,

j : 1, 2, 3, 4, …

• Membuat kesimpulan
  

Dalam membuat kesimpulan kita harus menyimpulkan apakah H₀ diterima atau ditolak, dengan cara membandingkan nilai-nilai dari uji statistiknya dengan kriteria pengujiannya.

1. Pengujian Hipotesis Lebih dari Dua Kategori
   

   Dalam pengujian hipotesis lebih dari dua kategori ini, peristiwa atau keadaan yang terlibat didalamnya adalah lebih dari dua kategori, seperti sangat baik, sedang, dan buruk. Untuk lebih lanjutnya kita akan lihat langkah-langkahnya yaitu sebagai berikut:
   

• Menentukan Formulasi Hipotesis
  

  H₀ : P₁₁ = P₁₂ = P₁₃ = …
  

  P₂₁ = P₂₂ = P₂₃ =
  …
  

  P₃₁ =
  P₃₂ = P₃₃ = …
  

  H₁ : tidak semua proporsi yang ada adalah sama.
  

• Menentukan Taraf Nyata dan χ²
  

  Taraf nyata dan χ² dapat ditentukan dengan derajat kebebasan (db) = (n – 1)
  

  (k - 1).
  

  

• Menentukan kriteria pengujian
  

  H₀ dapat diterima jika X²_hitung ≤ X²_{α (b -1) (k - 1).}
  

  H₀ dapat ditolak jika X²_hitung > X²_{α (b - 1) (k - 1).}
  

• Menentukan Nilai Uji Statistik
  

  

• Membuat Kesimpulan
  

  Dalam membuat suatu kesimpulan kita dapat menyimpulkan bahwa apakah terjadi penerimaan dan penolakan pada H₀.
  

1. Pengujian Hipotesis Kehomogenan (Test of Homogeneity)
   

Pengujian hipotesis kehomogenan merupakan suatu pengujian hipotesis apakah satu sampel dengan sampel yang lainnya dapat memiliki persamaan (bersifat homogen) atau apakah dua sampel atau lebih dapat berasl dari satu populasi attau tidak. Langkah-langkah dalam pengujian hipotesis kehomogenan dapat dilihat sebagai berikut:

• Menentukan Formulasi Hipotesis
  

  H₀ : dua sampel atau lebih yang bersifat homogen atau dua sampel atau lebih memiliki persamaan.
  

  H₁ : dua sampel atau lebih tidak bersifat homogen atau dua sampel atau lebih tidak memiliki persamaan.
  

• Menentukan Taraf Nyata dan nilai X² tabel
  

  Taraf nyata dan nilai X² dapat ditentukan dengan derajat kebebasannya (db) = (b - 1)(k – 1).
  

  

• Menentukan Kriteria Pengujian
  

  H₀ diterima jika X²_hitung ≤ X²
  _{α (b - 1) (k – 1).}
  

  H₀ ditolak jika X²_hitung > X² _{α (b - 1) (k - 1).}
  

• Menentukan Nilai Uji Statistik
  

  Dalam menentukan nilai uji statistik kita dapat mempergunakan rumus sebagai berikut:
  

• Membuat Kesimpulan
  

  Dalam membuat kesimpulan kita dapat menyimpulkan bahwa apakah H₀ dapat diterima atau tidak.
  

1. Pengujian Hipotesis Satu Varians
   

Pengujian hipotesis satu varians merupakan suatu pengujian hipotesis varians (variasi) pada uatu populasi yang didasarkan pada varians sampelnya. Pengujian hipotesis satu varians pada dasarnya sama dengan pengujian pada hipotesis satu proporsi. Langkah-langkah untuk merlakukan pengujian pada hipotesis satu arah dapat dilihat sebagai berikut:

• Menentukan Formulasi Hipotesis
  
  

• Menentukan Taraf Nyata dan Nilai χ² Tabel
  

  Taraf nyata dan nilai χ² dapat ditentukan dengan derajat kebebasannya (db) = n - 1.
  

• Menentukan Kriteria Pengujian
  
  • H₀ diterima jika χ²₀ ≤ χ² _{α (n - 1).}
    

    H₀ ditolak jika χ²₀ > χ²_{α (n - 1).}
    

  • H₀ diterima jika χ²₀ ≥ χ² _{1 – α (n - 1).}
    

    H₀ ditolak jika χ²₀ < χ² _{1 – α (n - 1).}
    

  • H₀ diterima jika χ²_{1 - ½ α (n - 1)} ≤ χ²₀ ≤ χ²₀ ≤ χ²_{½ α (n - 1)}.
    

    H₀ ditolak jika X²₀ > X²_{½ α (n - 1)} atau X²₀ < X²_{1 - ½ α (n - 1).}
    

• Menentukan Nilai Uji Statistik
  

  

• Membuat Kesimpulan
  

  Dalam membuat keimpulan kita dapat menyimpulkan apakah H₀ dapat diterima atau ditolak.
  

Distribusi χ² merupakan suatu distribusi yang mempunyai variabel random kontinu, yang merupakan suatu keluarga dari kurva yang memiliki bermacam-macam distribusi χ². Bentuk distribusi χ² dapat ditentukan oleh derajat kebebasannya. Untuk distribusi χ² yang mempunyai derajat bebasnya adalah v, modul dan puncak kurva akan terletak pada nilai χ² = v – 2. Nilai-nilai χ² selalu bertanda positif, karena nilai itu merupakan penjumlahan kuadrat dari variabel normal standar Z.

Menurut Subiyakto (1994), chi square merupakan pengujian hipotesis yang didalamnya membahas tentang perbandingan antara frekuensi sampel yang benar-benar terjadi dengan frekuensi harapan yang didasarkan atas hipotesis tertentu. Untuk penerimaan hipotesis nol, perbedaan antara frekuensi observasi dengan frekuensi yang diharapkan dapat dilambangkan dengan variabilitas secara sampling pada tingkat signifikansi yang diinginkan. Dengan demikian, uji chi square dapat didasarkan pada besarnya perbedaan antara masing-masing kategori dalam distribusi frekuensi. Nilai chi square dalam pengujian perbedaan antara pola frekuensi observasi dengan frekuensi harapan adalah sebagai berikut:

Dengan:

f₀ = frekuensi observasi.

f_e = frekuensi harapan.

CONTOH STUDI KASUS

1. Uji Kebaikan Suai
   

Menjelang Hari Raya Idul Fitri, banyak masyarakat Indonesia melakukan tradisi mudik ke kampung halamannya. Oleh sebab itu, mahasiswa Universitas Gunadarma melakukan penelitian tentang kepadatan arus mudik dan arus balik di Tol Cikampek. Pada proses penelitiannya, mahasiswa tersebut mencatat kendaraan pribadi yang masuk dan keluar di Tol Cikampek. Berikut ini data-data yang telah diperoleh.

Tanggal Menjelang Hari Raya (Per Hari)	Kepadatan Kendaraan (Per Kendaraan)
H-7	270
H-6	300
H-5	330
H-4	370
H-3	410
H-2	490
H-1	530
H	500
H+1	400
H+2	200
H+3	370
H+4	410
H+5	430
H+6	470
H+7	520

Berdasarkan data yang diperoleh pada mahasiswa tersebut, akan diuji apakah kepadatan arus mudik dan balik merata atau tidak. (menggunakan taraf nyata 0,05)

• Formulasi hipotesis.
  

  H₀ : Kepadatan kendaraan arus mudik dan arus balik adalah merata.
  

  H₁ : Kepadatan kendaraan arus mudik dan arus balik adalah tidak merata.
  

• Taraf nyata () nilai χ² Tabel.
  

  = 5% = 0,05, dengan db = k – 1 = 15 – 1 = 14
  

  Jadi, χ²_0,05(14) = 23,685
  

• Kriteria pengujian.
  

  H₀ diterima apabila χ² ≤ 23,685
  

  H₀ ditolak apabila χ² > 23,685
  

• Uji statistik.
  

Kategori	oi	ei	(oi – ei)	(oi – ei)2	(oi – ei)2 /ei
-7	270	400	-130	16900	42,25
-6	300	400	-100	10000	25
-5	330	400	-70	4900	12,25
-4	370	400	-30	900	2,25
-3	410	400	10	100	0,25
-2	490	400	90	8100	20,25
-1	530	400	130	16900	42,25
0	500	400	100	10000	25
1	400	400	0	0	0
2	200	400	-200	40000	100
3	370	400	-30	900	2,25
4	410	400	10	100	0,25
5	430	400	30	900	2,25
6	470	400	70	4900	12,25
7	520	400	120	14400	36
∑	6000	6000	-	-	322,5

• Kesimpulan.
  

  Karena χ² hitung = 322,5 > χ² tabel = 23,685, maka H₀ ditolak. Jadi, kepadatan arus mudik dan arus balik adalah tidak merata
  

1. Uji Kebebasan
   

Liburan semester genap, mahasiswa teknik industri tingkat 2 akan mengadakan tour pariwisata. Pada rencana tour pariwisata terdapat enam pilihan, yaitu Bali, Borobudur, Tangkuban Perahu, P. Parangtritis, P. Kenjeran, dan P. Anyer. Oleh sebab itu, dilakukan voting untuk menentukan tempat tour pariwisatanya. Berikut ini merupakan data hasil dari voting mahasiswa teknik industri tingkat 2.

Voting			Tempat Pariwisata					Jumlah
	Bali	Borobudur	Tkb. Perahu	P. Parangtritis		P. Kenjeran	P. Anyer
Sgt Stju	25	18	20	10		5	4	82
Setuju	20	10	5	8		7	5	55
Netral	5	3	1	5		4	8	26
Tdk Stju	3	2	3	2		2	4	16
Sgt tdk Setuju	1	1	7	2		3	7	21
Jumlah	54	34	36	27		21	28	200

Berdasarkan data voting mahasiswa teknik industri, akan diuji apakah ada keterkaitan tempat pariwisata dengan hasil voting. (menggunakan taraf nyata 0,05)

• Formulasi hipotesis
  

  H₀ : Adanya keterkaitan antara hasil voting dengan tempat pariwisata.
  

  H₁ : Tidak ada keterkaitan antara hasil voting dengan tempat pariwisata
  

• Taraf nyata () nilai χ² tabel.
  

= 5% = 0,05, dengan db = k – 1 = (5 – 1) (6 – 1) = 20

Jadi, χ²_0,05(20) = 31,410

• Kriteria pengujian.
  

H₀ diterima apabila χ² ≤ 31,410

H₀ ditolak apabila χ² > 31,410

• Uji statistik.
  

  

  n₁ = 82 ; n₂ = 55 ; n₃ = 26 ; n₄ = 16 ; n₅ = 21
  

  n₁ = 54 ; n₂ = 34 ; n₃ = 36 ; n₄ = 27 ; n₅ = 21 ; n₆ = 28 ; n = 200
  

  

oi	ei	(oi – ei)	(oi – ei)2	(oi – ei)2 /ei
25	22.14	2.86	8.1796	0.36945
18	13.94	4.06	16.4836	1.18247
20	14.76	5.24	27.4576	1.86027
10	11.07	-1.07	1.1449	0.10342
5	8.61	-3.61	13.0321	1.5136
4	11.48	-7.48	55.9504	4.87373
20	14.85	5.15	26.5225	1.78603
10	9.35	0.65	0.4225	0.04519
5	9.9	-4.9	24.01	2.42525
8	7.425	0.575	0.330625	0.04453
7	5.775	1.225	1.500625	0.25985
5	7.7	-2.7	7.29	0.94675
5	7.02	-2.02	4.0804	0.58125
3	4.42	-1.42	2.0164	0.4562
1	4.68	-3.68	13.5424	2.89368
5	3.51	1.49	2.2201	0.63251
4	2.73	1.27	1.6129	0.59081
8	3.64	4.36	19.0096	5.22242
3	4.32	-1.32	1.7424	0.40333
2	2.72	-0.72	0.5184	0.19059
3	2.88	0.12	0.0144	0.005
2	2.16	-0.16	0.0256	0.01185
2	1.68	0.32	0.1024	0.06095
4	2.24	1.76	3.0976	1.38286
1	5.67	-4.67	21.8089	3.84637
1	3.57	-2.57	6.6049	1.85011
7	3.78	3.22	10.3684	2.74296
2	2.835	-0.835	0.697225	0.24593
3	2.205	0.795	0.632025	0.28663
7	2.94	4.06	16.4836	5.60667
∑				42.4207

• Kesimpulan.
  

  Karena χ² hitung = 42,4207 > χ² Tabel = 31,410, maka H₀ ditolak. Jadi, tidak ada keterkaitan antara hasil voting dengan tempat pariwisata.